LEYES LOGICAS 1- Elemento neutro 2- Elemento absorbente 3- Contra o tauto 4- consistencia 5-euivaencia y negacion de la implicacion	1- p y t = p , p o c = p 2- p o t = t , p y c = c 3- p y -p = c , p o -p = t 4- (p y q) o p = p , (p o q) y p = p 5- (p-->q) = -p o q , -(p-->q) = p y -q
MATRIZ	Una matriz A de orden mxn es un arreglo rectangular ordenado de n.m numeros complejos dispuestos en m filas y n columnas. a los numeros se los llama elementos de la matriz.
MATRIZ TRANSPUESTA	Sea A=(aij) una matriz de orden nxm. La transpuesta de A, A T es una matriz de orden nxm que se obtiene al intercambiar los elementos de las filas por los de las columnas de la matriz A, es decir, AT= (aji)
MATRIZ SIMETRICA Y ANTISIMETRICA	Una matriz cuadrada A=(aij) es simetrica si y solo si A=AT, es decir, aji=aij para todo i j. Una atriz cuadrada A=(aij) es antisimetrica si y solo si AT = -A, es decir aji= -aij para tdo j i
INVERSA DE UNA MATRIZ	Si A es una matriz cuadrada de orden n y existe B, tal que A.B=B.A=I , se dice que A es una matriz inversible y se le llama a B matriz inversa de A. Se denota: B=A^(-1)
Unicidad de la inversa	Si Anxn tien una inversa multiplicativa, esa inversa es única
RANGO DE UNA MATRIZ	Numero de filas diferentes de cero de una matriz A llevada a su forma escalonada reducida mediante operaciones elementales por filas de A
DETERMINANTE	Sea A=(aij) una matriz cuadrada de orden n, el determinante de A es la función que le asigna un número a cada mat cuadrada igual al de la suma de sus productos elementales con signo A
MENOR COMPLEMENTARIO	Sea A =(aij) una matriz cuadrada de orden n, se le llama menor complementario ij (Mij) al determinante de la submatriz que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de A
COFACTOR Y MATRIZ DE COFACTORES	Sea A =(aij) una matriz cuadrada de orden n. El cofactor de A (Cij) es el numero que se obtiene mediante la sgte expresión: Cij=(-1)^i+j * Mij Sea A=(aij) una matriz cuadrada de orden n. La matriz de cofactores de A, Cofact (A) es la matriz que tiene como elemento genérico Cij
MATRIZ ADJUNTA y propiedades	Sea A=(aij) una matriz cuadrada de orden n. La matriz adjunta de A es la matriz transpuesta a la matriz de cofactores de A. Propiedades: > A . Adj(A) = \|A\| . I > A^-1 = Adj(A) . 1/\|A\|
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES	Un sistema de m ecuaciones con n incognitas o variables x1,x2,...,xn es un conjunto finito de la forma: a11.x1 + a12.x2 + ... + a1n.xn = b1 a21.x1 + a22.x2 + ... + a2n.xn = b2 .. .. .. .. am1.x1 + am2.x2 + ... + amn.xn = bm
TEOREMA ROUCHE-FROBENIUS	Sea A es una matriz cuadrada de orden n la matriz de coeficientes del SEL AX=B, y sea A´=[A\|B] la matriz aumentada del sistema, por el teorema de Rouche-Frobenius, podemos afirmar que: - Si ρ(A) = ρ(A´) = n, entonces el SEL es CD - Si ρ(A) = ρ(A´) < n, entonces el SEL es CI - Si ρ(A) ≠ ρ(A´), entonces el SEL es I
REGLA DE CRAMER	Sea Anxn, si: - \|A\|≠ 0 , el SEL es CD - \|A\| = 0, y: \|e b \| \|e´ d \| = 0 , el SEL es CI , si es = R , el SEL es I B = (e,e´)
TRANSFORMACIONES LINEALES	Sean V y W dos espacios vectoriales definidos sobre el mismo cuerpo de escalares. La función T definida en V y en W es una TL de V en W si satisface las sgtes condiciones: 1) T(u+v) = T(u) + T(v) 2) T(ku) = k T(u) u,v ∈ V y k ∈ R
NUCLEO E IMAGEN	NÚCLEO: Sea T: V-->W una TL. El nucleo es el subconjute de V definido como: N(T) = { v∈V / T(v)=0 } IMAGEN: Sea T: V-->W una TL. Definimos como imagen a: Im(T) = { w∈W / E v∈V y T(v)=w }
.TL identidad .TL nula	id: V--->V / T(v)=v NUCLEO: {0} IMAGEN: V T: V--->W / T(v)=0 NUCLEO: W IMAGEN: {0}
MATRIZ ASOCIADA A UNA TL	Sea T una TL definida de V en W. Sean V y W espacios vectoriales de dimension finita. Y sean B={v1,v2,....,vn} una base ordenada de V y B´={w1,w2,...,wm} una base ordenada de W. Entonces definimos como mat asociada a la TL T a la matriz Anxn tal que: A(T)= [ [T(v1)]B´ [T(v2)]B´ ..... [T(vn)]B´ ]
REFLEXION	EJE X - T((x,y)) = (x.-y) EJE Y - T((x,y)) = (-x,y) Y=X - T((x,y)) = (y,x) (0,0) - T((x,y)) = (-x,-y)
PROYECCION	EJE X - T((x,y)) = (x,0) EJE Y - T((x,y)) = (0,y)
DILATACION O CONTRACCION	EJE X - T((x,y)) = (kx,y) EJE Y - T((x,y)) = (x, ky)
CORTE O CIZALLADURA	HORIZONTAL - T((x,y)) = (x+ky, y) VERTICAL - T((x,y)) = (x, y+kx)
ROTACION DE ANGULO	T((x,y)) = (x cos θ - y sen θ , x sen θ +y cos θ)
MATRIZ DE CAMBIO DE BASE O DE TRANSICION	Consideremos un espacio vectorial V de dimension finita y sea id la TL identidad definida de V en V. Llamaremos matriz de cambio de base de la base B a la base B´ a la matriz asociada a la TL id respecto de la base B en el dominio y la base B´ en el codominio. (representacion matricial) - Sea T:V-->V / T(v)=v la TL id - Sea P la mat asociada a dicha TL: [X]B´=P.[X]B
MATRICES SEMEJANTES	Sean A y B matrices cuadradas de orden n, decimos que B es semejante a A si existe P inversible de orden n, tal que: B = P^-1 . A . P
VALORES Y VECTORES PROPIOS	Sea A una matriz cuadrada de orden n. El escalar λ es un autovalor de A, si existe un vector x∈Rn, tal que: AX = λX (X ≠ 0). Al vector x se lo llama autovector de A correspondiente a λ. DILATA λ>1 , CONTRAE 0<λ<1 , CAMBIA DE SENTIDO λ<0
DIAGONALIZACION	Una matriz Anxn es diagonalizabe, si existe una matriz diagonal D tal que A sea semejante a D. Es decir, si existe P inversible de orden n, tal que: D = P^-1 . A . P (P diagonaliza a A)
DIAGONALIZACION ORTOGONAL (Teo espectral)	Si A es una matriz cuadrada de orden n y es simetrica, entonces exite Q ortogonal der orden n cuyas columnas son los autovalores de A, tal que: D = QT . A . Q
ENDOMORFISMO AUTOMORFISMO MONOMORFISMO ISOMORFISMO EPIMORFISMO	(MEpIsEnAuto) MONOMORFISMO - N(T)={0} EPIMORFISMO - Im(T)= W ISOMORFISMO - N(T)={0} y Im(T)= W ENDOMORFISMO - V=W AUTOMORFISMO - N(T)={0} y Im(T)= W y V = W
NUMEROS COMPLEJOS	Llamaremos numeros complejos a los vectores del plano cartesiano R2=C y sobre este se definen dos operaciones binarias, la suma y el producto: - (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) - (a,b) . (c,d) = (a.c-b.d , a.d+b.c)
INMERSION DE LOS R EN C	Sea f: R-->C, definida como f(a)=(a,0), una funcion que le asigna a cada numero real un numero complejo real. La funcion f es inyectiva y es un monomorfismo de R en C respecto a la adicion y multiplicacion, cualquiera sean los reales "a" y "b", se cumple: - f(a+b)=f(a)+f(b) - f(ka)=k.f(a)
FORMA BINOMICA FORMA CARTESIANA FORMA TRIGONOMETRICA FORMA POLAR FORMA EXPONENCIAL	B: z=a+bi C: z=(a,b) T: z= ρ . (cos θ + i.sen θ) P: z= (ρ,θ) E: z= ρ e^θi
RADICACION POTENCIACION	R: n√z = √ρ . (cos (θ+2kπ)/n + i.sen (θ+2kπ)/n ) P: z^n = ρ^n . (cos (nθ) + i.sen (nθ))
CONJUGACION MODULO EXPONENCIAL COMPLEJA	C: z´=(a+bi)´ = a-bi M: \|z\|=\|a+bi\|= √a^2+b^2 E: w=z1^z2 ---> w= e^(z2 . ln(z1))
TEO FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA	TODO POLINOMIO DE GRADO n>0 (n∈N) CON COEFICIENTES EN C TIENE EXACTAMENTE n RAICES COMPLEJAS
RAIZ N-ÉSIMA DE UN NUMERO COMPLEJO	De acuerdo con el Teo Fund del Algebra, todo complejo no nulo tiene exactamente n raíces distintas. Por definicion, el complejo w es una raíz n-ésima de z no nulo, si y solo si w^n=z
LOGARITMACION	Sean z ≠ 0 y w dos numeros complejos. Se llama ln(z) al complejo w, tal que: w=ln(z) si y solo si z=e^w. (deduccion formula) w=ln(ρ) + i.(θ+2kπ) k=0,1,2,..... (representacion grafica)
FUNCION FACTORIAL	La funcion factorial f: N --> R / f(n) = n!, es una función definida por: f(0)=0!=1 , f(1)=1!=1 , f(n+1)=(n+1).n! [n≥1]
VARIACIONES SIMPLES Y CON REPETICION	Dados n elementos distintos de una poblacion. Llamamos variaciones de orden k a todo conjunto de k elementos teles q se consideran variaciones distintas aquellas que difieren en al menos un elemento o que tienen los mismos elementos pero en distinto orden. Vn,k = n! / (n-k)! n≥k y n,k∈N .Repeticion: son variaciones de orden k donde se supone que los n elementos dados pueden repetirse hasta k veces. V´n,k = n^k n≥k y n,k∈N
PERMUTACIONES SIMPLES Y CON REPETICION	Son un caso particular de las variaciones, donde la poblacion es igual a la muestra (n=k). Son las distintas ordenaciones posibles de los n elementos. Pn = n! n∈N .Repeticion: son las permutaciones que se pueden formar con los n elementos dados tales que hay α iguales entre si, β iguales entre si, etc, tal que: α + β + ... + λ = n. Pn^(α+β+...+λ) = n! / α!.β!...λ!
COMBINACIONES SIMPLES Y CON REPETICION	Todos los grupos que se pueden formar con n elementos tomados de k en k, de tal manera que se consideren diferentes aquellos que difieren de al menos un elemento. Cn,k = n! / k! (n-k)! n≥k y n,k∈N .Repeticion: son combinaciones de k elementos donde cada elemento puede repetirse hasta k veces. C´n,k = Cn+k-1,k n <,>,= k y n,k∈N
NUMEROS COMBINATORIOS	Sean n y k dos numeros enteros no negativos tales que n≥k. Se llama numero combinatoria n sobre k y se escribe ( n / k ), siendo n el numerador y k el denominador, a: ( n ) = n! / ( k ) k! (n-k)!
NUMEROS COMBINATORIOS COMPLEMENTARIOS	Dos numeros combinatorios son complementarios si tienen el mismo numerador y si la suma de sus denominadores es igual al numerador ( n ) ( n ) ( k ) y ( n-k )

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