Matematica 1

Es una igualdad matemática entre dos expresiones denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos y elementos desconocidos o incógnitas relacionadas mediante operaciones matemáticas
Ej
(2x + 3x + 72) / 6 = x
ax^2 + bx + c = 0
Donde las letras son Incógnitas y los nros son Datos
^ potencia
¬ raiz

Ecuaciones
> Según la Cantidad de Incógnitas:
< De una Incógnita
< De Varias Incógnitas

> Según las Operaciones que Relacionan los Términos:
> Ecuaciones Algebraicas: 3x^2-3/x=(2x-1)¬2
< Suma
< Resta
< Multiplicación
< División
< Potencia
< Raíz
> Ecuaciones Trascendentes: ln(x + y)=4
< Exponenciales
< Logarítmicas
< Trigonométricas

Una ecuación con una incógnita se dice lineal o de primer grado, cuando el mayor exponente con que figura la incógnita es uno.
Ejemplo:
ax + b = 0

Se dice que dos ecuaciones son equivalentes, si tienen las mismas soluciones.
Propiedades :
A = B <=> A + c= B + c
Al sumar la misma cantidad a ambos lados, se obtiene una ecuación equivalente.

A = B <=> A*c = B*c (c ≠ 0)
Multiplicando ambos lados por una misma cantidad diferente de cero, se obtiene una ecuación equivalente.
Ejemplo
Resolver : 5x - 6 = 3x
5x - 6 = 3x
5x - 6+ (-3x) = 3x + (-3x) #sum -3x a ambos miembros
2x -6 = 0 # Simplifico
2x - 6 + 6 = 0+6 #sumo 6 a ambos miembros
2x = 6 # Simplifico
(2x)/2 = 6/2 # Div a ambos miembros entre 2

x = 3

1 Identificar datos
2 Identificar Incógnitas
3 Darle un nombre a las incógnitas
4 Plantear la ecuación
5 Resolver
6 Interpretar los resultados
Ejemplo - Problema
El tiempo que permanece encendida la luz amarilla de un semáforo es un segundo más largo que 0,05 veces el límite de velocidad de la calle que éste controla. ¿Cuál es el tiempo de encendido de la luz amarilla de un semáforo que controla una calle con un límite de velocidad de 30?
Datos: "velocidad limite" (30), Incógnita : "Tiempo de Encendido de luz amarilla" (x), Planteo de la Ecuación: "0,05 veces el límite de velocidad" (0.05 * 30), "un segundo más largo que 0,05 veces el límite de velocidad" (0,05 * 30 + 1 =x)
Donde x: "Es el tiempo que permanece encendida la luz amarilla de un semáforo (x = 2.5)"

Definición – Solución: Se llama ecuación cuadrática a toda expresión de la forma "ax^2 + bx + c = 0", donde "a", "b" y "c" son constantes y "a ≠ 0".
Las soluciones de cualquier ecuación de segundo grado en una variable del tipo: ax^2 + bx + c = 0, están dadas por la formula cuadrática llamada resolvente
Una ecuación cuadrática puede tener una solución, varias soluciones o ninguna solución

𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐=0
Ecuaciones de una incógnita y el exponente más alto es 2.Tiene dos soluciones: x1 y x2.

RESOLVENTE:

𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐=0
𝑎𝑥^2+𝑏𝑥=0
𝑎𝑥^2+𝑐=0
Para aplicar la resolvente, las ecuaciones SI O SI tienen que estar igualadas a CERO.
Ejemplos:
3𝑥^2+2𝑥=7 "NO"
3𝑥^2+2𝑥−7=0 "SI"
5𝑥^2+9=−3𝑥 "NO"
5𝑥^2+3𝑥+9=0 "SI"

Se reconocen los parámetros a, b y c.
En caso de que alguno falte, su valor es CERO.
Ejemplos:
5𝑥^2+3𝑥+9=0 a =5; b = 3; c = 9
𝑥^2−3=0 a =1; b = 0; c = 3
2𝑥^2−𝑥=0 a =5; b = 3; c = 9

Se colocan los parámetros a, b y c dentro de la resolvente.
5𝑥^2+3𝑥−9=0 a = 5; b = 3; c = 9

Definiciones
Desigualdad matemática entre dos miembros.
1° miembro >, <, ≥, ≤ 2° miembro
Tienen datos, coeficientes e incógnitas.
Se resuelve de forma similar a las ecuaciones.
Conjunto solución =====> Resultado de la inecuación
PROPIEDADES
1 Al sumar o restar lo mismo en ambos miembros, se obtiene una ecuación equivalente.

A > B ↔ A + C > B + C
2𝑥 > 𝑥
2𝑥+4 > 𝑥+4
Suponemos que x=2.
==> 2.2 > 2 ==> 4 > 2
==> 2.2+4 >2+4 ==> 8 > 6

2 Al multiplicar o dividir un Numero Positivo en ambos miembros, se obtiene una inecuación equivalente.
A > B ↔ A * C > B * C
2𝑥>𝑥
2𝑥 . 4>𝑥 . 4
Suponemos que x=2.
==> 2.2 > 2 ==> 4 > 2
==> 2.2.4 > 2.4 ==> 16 > 8
3 Al multiplicar o dividir un Numero Negativo en ambos miembros, si se coloca el símbolo de desigualdad opuesto, se obtiene una inecuación equivalente.
A > B ↔ A * -C < B * -C
2𝑥>𝑥
2𝑥 . (−4) < 𝑥 . (−)4
Suponemos que x=2.
==> 2.2 > 2 ==> 4 >2
==> 2.2.(−4) < 2.(−)4 ==> −16 < −8

(…) La solución no incluye el número
(…) La solución es desde -∞ o hasta +∞
[…] La solución incluye el número
Ejemplo :
𝑥>3 S = (3; +∞)
𝑥≥3 S = [3; +∞)
9>𝑥≥3 S = [3; 9)
S = [3; 9]
Ejercicio:
6−5𝑥 ≥ 7
−5𝑥 ≥ 7−6
−5𝑥 ≥ 1
𝑥 ≤ 1/(−5)
Conjunto solución.
𝑥 ≤ −1/5
S = (-∞; -1/5]
Ejercicio 2
17−5𝑥 ≤ 8𝑥−5
17+5 ≤ 5𝑥+8𝑥
22 ≤ 13𝑥
22/13 ≤ 𝑥
Conjunto solución.
𝑥 ≥ 22/13
S = [22/13; +∞)

Una matriz "A de m x n" es un arreglo rectangular de "mn" números dispuestos en "m" renglones y "n" columnas
NOTA: "nxm" Es el orden de la matriz.

fig mat15

Dos matrices "A = (a (sub ij) ) y B = (b (sub ij) )" Son iguales SOLO si son del mismo tamaño Y las componentes son iguales (ósea idénticas en tamaño y valores)

los vectores son matrices unidimensionales ya sea por un solo renglón o columna
cada vector es un tipo especial de matriz. Asi, por ejemplo, el vector renglón de "n" componentes ( a(1), a(2), ....c(n) ) es una matriz de "1 x n", mientras que el vector columna de "n" componentes es una matriz de " n x 1"

Una matriz cuadrada tiene igual numeros de filas que de columnas
diagonal principal es la que parte del componente (1,2) en diagonal descendente.
Una matriz identidad o unidad de orden n es una matriz cuadrada donde todos sus elementos son ceros (0) menos los elementos de la diagonal principal que son unos (1).
Donde A*I(n) = I(n)*A = A

Para sumar matrices debemos:

Comprobar el orden de las matrices, tal que:
Si el orden (cantidad de fila y columnas m x n) de las matrices es el mismo, entonces se pueden sumar las matrices.
Si el orden de las matrices es distinto, entonces no podemos sumar las matrices.
Sumar los elementos que tienen la misma posición dentro de sus respectivas matrices.

escalar es un numero
El producto escalar de un número real, " r " , y una matriz "A" es la matriz "rA". Cada elemento de la matriz "rA " es "r" veces su elemento correspondiente en "A" .

Propiedades de la multiplicación escalar:
1 asociativa p ( qA ) = ( pq ) A
2 de cierre pA es una matriz m × n .
3 conmutativa pA = Ap
4 distributiva ( p + q ) A = pA + qA
p(A + B) = pA + pB

5 identidad 1 · A = A
6 multiplicativa de –1 (–1) A = –A
7 multiplicativa de 0 0 · A = 0 (m × n)

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
A(mxn) * B (nxp) = C(mxp)
El elemento c_{ij} de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades del producto de matrices:

1 Asociativa: A* (B * C)=(A * B) * C

2 Elemento neutro*: A* I=A

* Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

3 Distributiva del producto respecto de la suma:
A* (B+C)=A* B + A* C

4 No es Conmutativa: A* B ≠ B* A

Inversa de una matriz : definición
El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.

A* A^{-1} = A^{-1}* A = I
Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos: El método de Gauss y el método por cálculo de determinantes.

Propiedades de la matriz inversa:

1 (A* B)^{-1} = B^{-1}*A^{-1}
2 (A^{-1})^{-1} = A
3 (k* A)^{-1} = k^{-1}A^{-1}
4 (A^{t})^{-1} = (A^{-1})^{t}

Determinante es una función que teniendo como dominio el conjunto de matrices cuadradas Mnxn y como conjunto de salida el conjunto de los números reales hace corresponder a cada matriz A de orden nxn (cuadrada) un número real llamado determinante.
Es un numero que se asocia a una matriz cuadrada y que tiene mucho uso ya que permite simplificar las operaciones matriciales como el calculo de rango o la matriz inversa

det⁡( ) => Nro
^
Matriz
La determinante de la matiz A = det A = |A|
Propiedades de los Determinantes:

Condiciones:
1) n = m (la matriz es cuadrada)
2) La matriz M es inversible. En este caso existe una solución única:
X=M^-1 * B
NOTA: La matriz M es inversible si y solo si su determinante |𝑀|≠0
Si la matriz M tiene un determinante |𝑀|=0, el sistema es incompatible o indeterminado. No tiene solución o bien esta solución no es única.

mat23

1) Calcular determinante del sistema, |S|
2) Calcular determinante de X, |X|
3) Calcular determinante de Y, |Y|
4) Calcular determinante de Z, |Z|
5) Calcular Incógnitas :
X = |X|/|S| Y = |Y|/|S| Z = |Z|/|S|

Dos SEL serán equivalentes si sus sus incógnitas son iguales. Teniendo un Sistema de ecuaciones podrá generarse otro equivalente a este multiplicando o dividiendo todos sus elementos por un valor cualquiera (o constante) img mat 25

primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales con la notación matricial, por ejemplo:
a1X + b1Y + c1Z = d1 |a1 b1 c1| d1|
a2X + b2Y + c2Z = d2 => |a2 b2 c2| d2|
a3X + b3Y + c3Z = d3 |a3 b3 c3| d3|
Nota: También se le llama matriz aumentada.
Luego de realizado lo anterior procederemos a transformar dicha matriz en una matriz identidad, o sea una matriz equivalente a la inicial, de la forma:
| 1 0 0 |
| 0 1 0 |
| 0 0 1 |
Logramos esto aplicando a las distintas columnas y filas de las matrices, restas, sumas, multiplicaciones y divisiones. Debemos tener en cuenta que las operaciones utilizadas se aplicarán en todos los elementos de la fila.

En dicha matriz identidad no vemos los términos independientes. Esto sucede ya que cuando la matriz original alcance la matriz identidad, los términos serán la solución del sistema y verificarán la igualdad para cada variable que se corresponderán de la forma siguiente:

• d1 = x

• d2 = y

• d3

En matemática, una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A un único elemento de un conjunto B
En forma general, se dice que una cantidad y es función de otra cantidad x, si el valor de la primera depende del valor que tome la segunda.
y = f(x).
donde y (variable dependiente) es la imagen de x (var independiente) a través de f
Dominio de f : todos los valores x tales que f(x) esta definida.
Imagen de f: todos los posibles resultados al efectuar f(x).
Ejes cartesianos:
verticales: eje y o eje de la ordenadas
horizontales: eje x o eje de las abscisas
primer cuadrante: +x +y
segundo cuadrante: -x +y
tercer cuadrante: -x -y
cuarto cuadrante: +x -y

mat28

Función polinómica de primer grado : 𝑦=𝑎𝑥+𝑏
Representación gráfica : Recta
Pendiente : m = a
Ordenada al origen : es donde se corta el eje y x=0; y= b
Paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas:
y = a x + b a = A Rectas Paralelas
y = A x + B a = 1/A Rectas perpendiculares

Función polinómica de segundo grado.
Expresiones.
polinómica 𝑦=𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐
canónica 𝑦=𝑎〖(𝑥−𝑥_𝑣)〗^2+𝑦_𝑣
factorizada 𝑦=𝑎(𝑥−𝑥_1)(𝑥−𝑥_2)

Representación gráfica: Parábola
Puntos:
1 > Ordenada al origen: Donde se corta el eje y x = 0
2 > Raíces: Donde se corta el eje x Y = 0
3 > Vértice: Punto máximo o mínimo.
4 > Eje de simetría: Recta vertical que pasa por el
vértice.
PARÁMETRO cuadrático
a > 0 cóncava hacia arriba
a < 0 cóncava hacia abajo

Siendo a; b > 0 x; y ∈ R

Las funciones logarítmicas son funciones del tipo:
fx = Loga X siendo a>0 y a distinto de 0
Es la inversa de la función exponencial f(x) = ax

Las características generales de las funciones logarítmicas son:

1) El dominio de una función logarítmica son los números reales positivos: Dom(f) = (0. + ∞) .

2) Su recorrido es R: Im(f) = R .

3) Son funciones continuas.

4) Como loga1 = 0 , la función siempre pasa por el punto (1, 0) .
La función corta el eje X en el punto (1, 0) y no corta el eje Y.
5) Como logaa = 1 , la función siempre pasa por el punto (a, 1) .

6) Si a > 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente.

7) Son convexas si a > 1 .
Son concavas si 0 < a < 1 .

8) El eje Y es una asíntota vertical.
Si a > 1 :
Cuando x → 0 + , entonces log a x → - ∞
Si 0 < a < 1 :
Cuando x → 0 + , entonces log a x → + ∞

f(x)= log2 x
g(x)= log1/2 x

1) Dominio:
El dominio de las funciones logarítmicas es (0, + ∞) .
Dom(f) = Dom(g) = (0, + ∞) .

2) Recorrido:
El recorrido de las funciones logarítmicas es R.
Im(f) = Im(g) = R .

3) Puntos de corte:
f(1) = log21 = 0 , el punto de corte con el eje X es (1, 0).
g(1) = log1/21 = 0 , el punto de corte con el eje X es (1, 0).
La funciones f(x) y g(x) no cortan al eje Y.

3) Crecimiento y decrecimiento:
La función f(x) es creciente ya que a > 1 .
La función g(x) es decreciente ya que 0 < a < 1 .

4) Concavidad y convexidad:
Las función f(x) es convexa ya que a > 1 .
Las función g(x) es concava ya que 0 < a < 1 .

5) Asíntotas:
Las funciones f(x) y g(x) tienen una asíntota en el eje Y. (osea tiende al valor eje y)

casos especiales

1> La función logarítmica es la inversa de la exponencial:
y = Ln x ⇔ x = e^y
2> La función y = Ln x tiene por dominio { x ∈ R | x > 0 } y por recorrido R .
3 > La función y = Ln x es continua, creciente e inyectiva en todo su dominio.
4> La función y = Ln x es convexa o cóncava hacia abajo en todo su dominio.
5> lim Ln x= - ∞ y lim Ln x= ∞
∞ → 0+ x → ∞

La función logaritmo neperiano: f(x) = ln x
La función log neperiano es la inversa de y = e^x .
Su gráfica es simétrica de y = e^x respecto a y = x .y = e^x
x = e^y
Por definición: y = ln x

< Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.
< Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:

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