Enteros

Esta teoría es una parte importante de la aritmética, del algebra y de la geometría.

Consiste en caracterizar el conjunto de los números naturales por algunas de sus propiedades que se imponen como
axiomas, de manera que cualquier otra propiedad se deduce (usando las reglas de la lógica) de estos axiomas.

En tales conjuntos tenemos definidas operaciones por todos conocidas, como la suma y la multiplicación, y de las
propiedades que satisfagan estas operaciones deduciremos las estructuras algebraicas de dichos conjuntos.
El estudio de las estructuras algebraicas es importante y abre todo un campo de las matemáticas conocido como Algebra.

Consideremos N el conjunto formado por un numero infinito de objetos indefinidos que llamamos números naturales:
N={0, 1, 2, 3, 4, ……}

Es una aplicación +: NxN →N, de manera que para cada par de números naturales n, existe
un único natural m, talque n + m. esta operación se define por inducción mediante las reglas:
i. N + 0 = n, para todo n perteneciente a N.
ii. N + (m + 1) = (n + m) + 1, para todo n y m perteneciente a N.

Elemento neutro, propiedad conmutativa, propiedad
asociativa y propiedad cancelativa

Es una aplicación . :NxN →N, de manera que para cada par de números naturales n, m
existe un único número natural n.m. Esta operación de nuevo se define de forma inductiva mediante.
i. n.0 = 0, para todo n perteneciente a N.
ii. n.(m+1) = (n.m)+n, para todo n y m perteneciente a N.

Elemento cero.
Elemento neutro.
Propiedad asociativa.
Propiedad conmutativa.
Propiedad cancelativa.
Propiedad distributiva.

Llamaremos numero entero a cada una de las clases de equivalencia obtenidas en N x N al definir la relación de equivalencia
(~).

Llamaremos conjunto de los números enteros y lo denotaremos por Z al conjunto cociente N x N / ~

Dados a, b pertenecientes a Z, diremos que a es divisor de b, a divide a b, a es factor de b y lo
representaremos mediante a|b, si y solo si existe un numero entero c tal que a.c=b, es decir, a|b →c pertenece a Z talque a.c=b. en tal
caso, también diremos que b es múltiplo de a, es decir b pertenece a.

Un numero entero p perteneciente a Z se dice que es primo si y solo si p es distinto de 0, +-1 y su único divisor son el +-1 y el +-p.

Diremos que un numero entero es compuesto si no es primo, es decir, tiene divisores distintos de si mismo y de la unidad.

Todo numero entero distinto de +-1 y 0 admite una descomposición (salvo el orden y opuestos) como
producto de números primos positivos, es decir:

Dados a, b pertenecientes a Z – {0, +-1}, llamaremos máximo común divisor de a y b al numero entero d perteneciente
a Z que satisface:
i. d|a y d|b.
ii. Si existe d’ perteneciente a Z tal que d’|a y d’|b entonces d’|d.
iii. Al máximo común divisor de a y b lo denotamos por d = (a, b) = m.c.d{a,b}.

Dados a, b pertenecientes a Z – {0, +-1}, llamaremos mínimo común múltiplo de a y b al numero entero M
perteneciente a Z que satisface:
i. a|M y b|M,
ii. Si existe M’ perteneciente a Z tal que a|M’ y b’|M, entonces M|M’
iii. Al mínimo común múltiplo de a y b lo denotamos por M = [a, b] = m.c.m{a,b}

Sean a y b pertenecientes a Z, y b distinto de 0. Entonces existen números enteros q y r tales que:
a = b.q+r.
Con 0 <= r <|b|. Además, q y r son únicos.

Dados a, b pertenecientes a Z – {0, +-1}. Si d = (a, b) entonces existen unos únicos números u, v pertenecientes a Z tales
que: d = a.u + b.v.
Dos números enteros a y b diremos que son primos relativos si y solo si d = (a, b) = 1.

Dados a, b pertenecientes a Z – {0, +-1}. Como (a, b) = (|a|, |b|) podemos suponer que a >= b > 0. Aplicando el algoritmo de la división entre a y b obtenemos dos enteros q1 y r1 tales que: a = b.q1+r1 con 0<= r1 <b, y el problema de calcular el mcd{a,b} se reduce a calcular el mcd{b,r1} que son nueros más pequeños. De hecho, puede ocurrir que:
i. R1 = 0, entonces mcd{a, b} = mcd{b, 0} = b
ii. R1 distinto de 0, en cuyo caso podemos volver a aplicar el algoritmo de la división a b y r1 y obtenemos: b = r1.q2+r2 con 0 <= r2 < r1
iii. Y el problema de nuevo se reduce a calcular el mcd {r1, r2} pudiendo ocurrir que:
1. R2 = 0, y entonces mcd {a,b} = mcd {b, r1} = mcd{r1,0} = r1.
2. R2 distinto de 0, y así podríamos volver a aplicar el algoritmo de la división ahora entre r1 y r2, obteniendo: r1 = r2.q3+r3 con
0<=r3<r2

Sea n perteneciente a N – {0} y a, b perteneciente a Z, diremos que a es congruente con b modulo n y lo denotamos por a = b mod n si y solo
si a - b es múltiplo de n.
La relación de congruencia es una relación de equivalencia en Z. Al conjunto cociente de la relación de congruencia y lo llamamos conjunto de las clases de restos modulo n.

Para la suma: la asociativa, el elemento neutro, la conmutativa, el elemento simétrico.
Para el producto: la asociativa, el elemento neutro, la conmutativa, la distributiva.

Diremos que Zn es un dominio de integridad si no tiene divisores de cero.

Un elementos a distinto de 0 en Zn es unidad en Zn si tiene inverso (elemento simétrico para el producto), es decir, si existe otro elemento b distinto de 0 en Zn talque a.b=1.

Diremos que Zn es un cuerpo si todo elemento no nulo de Zn es unidad.

Las operaciones aritméticas en Zn nos van a permitir plantear ecuaciones o sistema de ecuaciones en Zn. Así podemos llamar congruencia lineal a una ecuación lineal de la forma:
Donde a, b, c y n son números enteros con n>1 y x una indeterminada

De la misma forma que en Zn podemos plantear y resolver ecuaciones lineales, podemos plantera y resolver sistemas de congruencias lineales:

Sean a1, a2, …., an pertenecientes a Z y p1, p2, … pn perteneciente a Z talque (pi, pj)=1 si i es distinto de j, entonces:
i. Existe a perteneciente a Z talque a congruente ai modulo pi, para todo i = 1, 2, …, n.
ii. Si existe un a’ perteneciente a Z talque a’ congruente ai modulo pi, para todo i =1, 2, 3, …, n, entonces a congruente a’ mod (p1, p2, … pn)
iii. Consideramos el sistema de congruencias:
iv. Talque (pi, pj) = 1 si i es distinto de j, entonces el teorema anterior nos asegura que dicho sistema tiene solución.

1. Llamamos M1 = 1, M2= p1, M3 = p1.p2, ….
2. Hallamos uk perteneciente a Z tal que uk.Mk congruente 1 mod pk, para todo k = 1, 2, 3, ….
3. Hallamos b1 perteneciente a Z tal que b1 congruente a1 modulo p1.
4. Hallamos w2 perteneciente a Z tal que w2 congruente (a2 – b1).u2 modulo p2.
5. Hallamos b2 = b1 + w2.M2
6. Paso 4 (otra vez): Para todo k >= 3 calculamos wk perteneciente a Z talque wk congruente (ak – bk-1).uk modulo pk.
7. Paso 5 (otra vez): para todo k >= calculamos bk = bk-1 +wk.Mk
8. La solución del sistema es x = br.